Ayer dejé pendiente un acertijo, propuesto por Fernando Corbalán durante su conferencia. Pues bien, ahí va el acertijo de las bolas:
Una caja tiene bolas en su interior. Hay bolas de dos colores diferentes, y se sabe que la probabilidad de sacar dos bolas del mismo color es la misma que la probabilidad de sacar dos bolas de diferente color. ¿Cuántas bolas de cada color hay en la caja?
¿Alguien da con la respuesta?
Los niños de la estacion de Leningradsky
Hace 11 años
22 comentarios:
Si no me equivoco hay cualquier cantidad de bolas, pero la misma cantidad de un color que de otro. Y por añadir un número concreto, dos bolas, así la probabilidad de sacar dos del mismo color, sea cual sea el color, es 0.
No. A ver, creo que no has entendido. Si hay dos bolas y la probabilidad de que sean del mismo color es 0, la probabilidad de que sean de distinto color es 1, luego no es igual. Y tampoco es correcto que sean las mismas de un color que de otro.
Plop, esto me pasa por leer por encima y sin cuidado, ya decía yo que era demasiado fácil... lo pensaré enfocándolo ahora como debe ser...
hay 0 bolas
Si la caja tiene bolas en su interior no puede haber 0 bolas.
3 bolas, 2 de un color y otra del otro.
Tampoco, puesto que si la primeras que sacas es del color "otra", tienes 0% de posibilidades de sacar otra de dicho color y 100% de sacarla del primer color.
La solución seria UNA de UN color.
Así, al sacarla, habría 0% de posibilidades de sacar otra, sea del mismo color o de otro.
4, 2 de cada color. Si sacas 2 del mismo color, todavia te quedan otras 2 del otro color por sacar, y lo mismo si sacas 2 de diferentes colores todavia te quedarian otras 2 de diferentes colores por sacar. Las probabilidades serian las mismas para ambos casos.
Pero las bolas se sacan dos a la vez? O primero sacas una y después otra?
Es que el planteamiento cambia totalmente según cómo sea!!!
Si se sacan dos bolas a la vez, hay el mismo número de unas y de otras, y siempre más de 4 en la bolsa (2 de cada color, por el argumento contra el primer comentario)
Si se saca una y después la otra la única opción para cumplir los requisitos es que haya 4. 2 de cada color. tienes 25% de sacar las dos blancas, 25% de sacar las 2 negras (50% de sacar del mismo color) y 50% de sacar color mixto.
Podría haber seis y tres o tres y una, me quedo con la primera solución, así no hay que interpretar el enunciado con lupa
Pues creo que hay infinitas respuestas posibles, pero siempre debe haber una color que tenga una bola más.
Me explico: si del color A tenemos X bolas, del color B tendrá que haber X+1. Así cuando hayamos sacado la primera bola, al sacar la segunda tendremos un 50% de posibilidades de que sea de color A y 50% de color B.
Despues de aplicar las fórmulas de probabilidad correspondiente y de operar todo lo operable, y teniendo en cuenta que:
A = Nº de Bolas de un color
B = Nª de bolas de otro color
Llego a la siguiente expresión:
A/(A-1) = (B-1)/B
Pero resulta que A/(A-1) es mayor que 1, ya que A es mayor que A-1
y, (B-1)/B es menor que 1, por lo mismo.
Por tanto, el problema no tiene solución. Es imposible que se de dicha combinación de bolas.
Respuesta con el menor número de bolas (habrá otras respuestas con más bolas):
- 1 bola blanca.
- 3 bolas negras
(o viceversa).
En este caso, extrayendo dos bolas consecutivamente, hay 12 posibles resultados.
Si denominamos 1 a la bola blanca y 2,3 y 4 respectivamente a las bolas negras, resultarán las siguientes posibles combinaciones:
1,2. x
1,3. x
1,4. x
2,1. x
2,3.
2,4.
3,1. x
3,2.
3,4.
4,1. x
4,2.
4,3.
He señalado con una "x" las combinaciones en las que las dos bolas son de distinto color (hay una bola "1").
Se puede ver que hay doce resultados posibles y seis de ellos incluyen una bola blanca, por tanto también otra bola negra y otros seis resultados no incluyen la bola "1" por tanto ambas son del mismo color.
Resumen seis y seis.
Existen 4 bolas, 2 negras y 2 blancas.
Así tienes 25% de probabilidad de tener la respuesta correcta.
Porque si represento en X y O sería algo así.
XX
00
Así que si metes la mano, no importa que par cojas, igual tendrás 1 negra y 1 blanca o dos del mismo color.
Una vez has sacado una bola, sea del color que sea, la única forma de igualar las probabilidades es que queden exactamente el mismo número de bolas de cada color dentro de la caja (para tener el 50% de que sea del mismo color que la que has sacado o de diferente color). Pero claro, esto conlleva el problema de sacar esa primera bola "de más" (¿de qué color dejo una bola más en la caja?¿Y si no elijo la del color que tiene una bola más?) SALVO que tenga INFINITAS BOLAS: en ese caso, aunque saque una, el resto de las que quedan en la caja sigue siendo infinito de cada color y la probabilidad, por tanto, será la misma al sacar la segunda bola de que sean iguales o distintas.
@Fernando
Sigo prefiriendo 3 y 6 como solución :-)
Anónimo lo rozó y Fernando lo ha clavado, pero aporto explicación críptico-probabilística.
1ª blanca por 2ª blanca +
1ª negra por 2ª negra =
1ª blanca por 2ª negra
1ª negra por 2ª blanca
después de multiplicar todo
(a+b)*(a+b-1) queda
a*(a-1) + b*(b-1) = a*b + a*b
organizando (a-b)^2=a+b
con soluciones a ojo 1 y 3
Y a buen, pocas.
Definiendo:
a=#bolas color X
b=#bolas color ¬X
Cualquier combinación tal que:
2*a*b + a + b = a*a + b*b
resultado1: a(1)=3, b(1)=6
resultado2: a(2)=6, b(2)=10
...
resultadoN: (para N>2)
x(N) = 1 + x(N-1) + x(N-1)-x(N-2)
para x = {a,b}
Que bueno!!
La idea se basa en las series de números triangulares (en.wikipedia.org/wiki/Triangular_number)
De este modo la función de resultados se puede definir como:
x(n) = 3+(n^2-n)/2 (para un color)
y(n) = 6+(n^2-n)/2 (para el otro color)
Los sumandos 3 y 6 se especifican para determinar los valores iniciales y para que no se contemplen los resultados que impliquen probabilidades nulas (es decir, que siempre haya almenos 2 bolas de cada)
Es sencillo. Hay 3 bolas. 2 de igual color y 1 de distinto color.Explicacion: Primero saco una bola de un color, quedando 2 bolas de: a) 2 bolas de distinto color; b) 2 bolas de igual color. Dependiendo del color de la proxima bola a sacar, voy a tener en mi mano: a) dos bolas de igual color; b) dos bolas de distinto color. La probabilidad de que saque dos bolas de igual color es igual a la probabilidad de que saque dos bolas de distinto color. Saludos.
El de la última entrada no solo ni se ha molestado en leer lo anterior, sino que no ha dado ni una. Si te haces el árbol de probabilidades con tu caso concreto verás que las probabilidades que mencionas no son iguales, sino 1/3 para sacar dos iguales y 2/3 para dos diferentes
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